Google Play ConsoleにてAPKをアップロードされた際、APKに対応したOBBファイルを間違いなくアップロードされているでしょうか。（誤って64ビット対応版のほうのOBBなどをアップロードしたり、異なるバージョンのOBBをアップロードしていないか）下記画像にてOBBファイル追加の際のボタンを図示しました。（おそらく問題ないとは思いますが念の為）
表題の件はプロジェクト設定＞Android＞「初回スタート／更新時のOBB確認を無効化」にチェックを入れると解決するかもしれません。
私がPlayストアに公開したアプリの場合ですが、初回起動時に添付画像3枚目と同様のメッセージが表示された後、ダウンロード中を示すプログレスバーが進行し、完了するとアプリが終了し、再度アプリを起動すると今度は問題なくゲームが始まる、という状況でした。
そのため質問者様の状況とやや異なり、他の問題との複合で起動が上手く行っていない可能性もありますが、該当項目にチェックしてパッケージ化したバージョンでは、ストアからダウンロード後の初回起動で添付画像3枚目のようなメッセージが表示されることなくアプリが起動しましたので、ご確認いただければと思います。
余談ですが、「UE4gameファイルにextarnalFilesDirを使用する」にチェックを入れることで初回起動時に権限について確認するポップアップを無効化できますので、ゲーム内でセーブ・ロードを使う場合はチェックしておいた方が無難なようです（公開した私のアプリをAndroid10の端末にてプレイしたユーザーさんから、初回起動時に権限付与について確認するポップアップは表示されず、各種設定やステージのクリア状況が保存されない不具合の報告をいただいた例があり、そのため上記項目にチェックをしてパッケージ化した修正バージョンを確認していただいたところ、問題ないとの報告をいただいています）