Ue4のランチャーが、ネットワークに接続しなくなってしまいました。

うーむおかしいですね。 何かが通信を邪魔しているような気がします。いちおう情報としましてポート7777と7778をランチャーは使っているみたいです。
症状からすると起動時にバージョンチェックのコミュニケーションがうまく取れていない感じですね。