まず、タッチ入力においてFingerIndexがどのように認識されているかを検証してみましょう。
今回でいう Touch1 や Touch2 ですが、どのように認識されているかというと、
それぞれ 1番目に触れた指 と 2番目に触れた指 です。
触れた順番に FingerIndex が割り振られることになります。
まず最初のケースですが 「Touch２を入力しながらTouch1が機能しない」 とありますが、上記の条件を当てはめると成り立たないことがわかります。
後から触れたほうが Touch2 です。
必要な入力は Touch1 であるため、 Touch1に割り振られている処理は動作しません。
「Touch１を入力しながらTouch2の入力」 のケースですが、こちらは先に Touch1 が入力されているので、問題は出ていません。
さて、問題の解決法ですが…
まず、MobileのTouchInterfaceは、Gamepadの入力（Left Thumbstick入力）として扱われます。
（デフォルトの LeftVirtualJoystickOnly を使用していれば、そのように設定されています）
なので、移動は Gamepad Left Thumbstick の入力に変えてしまいましょう。
もう一つ、Touch入力に関してですが、 InputTouch というイベントがあるのでそちらから取得するようにしてみましょう。
処理に必要なものはすべて取得できます。
この回答の内容がよくわからない場合は、新規に2DSideScrollerのテンプレートからプロジェクトを作成し、実機転送して見てみるとよいと思います。