ご不便をおかけしており大変申し訳ありません。
ほとんどの方は普通に使えているようですが、一部アメリカのアンサーハブでも繋がらないという事例を見つけました。
再インストールしたり、日を置いて実行してみたらできたという人もいますね。
確かな原因はわかりませんが、なんらかの障害でランチャーがサーバーとコミュニケーションできていないと考えられます。（回線速度、ファイヤーウォール、ポート、DNS、タイムアウト。。。などなど ）
他のパソコンでログインできる場合はアカウント自体は正常に機能していると思われます。
もしどうしてもダメで、一度もＵＥ４が使えていない状況でしたら解約手続き後に
billing_jp@unrealengine.com までご連絡ください。払い戻しの手続きをさせていただきます。
その際には、アカウント登録時のEmailアドレスとアカウント名を教えてください。